LOS NUMEROS REALES E INTERVALOS1

LOS NUMEROS REALES E INTERVALOS

Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.

Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

Sean a y b dos números reales tales que a < b.

Intervalo cerrado

Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos:    a) [-2, 3]    b) (1, 4)    c) (0, 5]    d) [1, +¥ )    e) (-¥ , 3)

a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:

b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:

c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha.  Su gráfica es:

d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:

e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:

A modo de resumen:

Nombre del intervalo	Notación conjuntista	Notación de intervalos	Representación gráfica
Abierto	{x / a < x < b}	(a, b)
Semicerrado a derecha	{x / a < x £ b}	(a, b]
Semicerrado a izquierda	{ x / a £ x < b}	[a, b)
Cerrado	{ x / a £ x £ b}	[a, b]
Infinito abierto a izquierda	{ x / x > a}	(a, +¥ )
Infinito cerrado a izquierda	{ x / x ³ a}	[a, +¥ )
Infinito abierto a derecha	{ x / x < b}	(-¥ , b)
Infinito cerrado a derecha	{ x / x £ b}	(-¥ , b]
Infinito	R	(-¥ , +¥ )

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita.El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta

Intervalo abierto[editar]

No incluye los extremos.

• ${\displaystyle (a,b)\ }$ o bien ${\displaystyle ]a,b[\ }$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

${\displaystyle I=(a,b)=}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :\,a<x<b\}}$

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ${\displaystyle \mathbb {R} }$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a, b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].⁴​ No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.⁵​

Intervalo cerrado[editar]

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: ${\displaystyle I=[a,b]\ }$

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x\leq b}$

Si incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notación ${\displaystyle (a,b]\ }$ o bien ${\displaystyle ]a,b]\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(a,b]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x\leq b}$

• Y con la notación ${\displaystyle [a,b)\ }$ o bien ${\displaystyle [a,b[\ }$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x<b}$

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.⁶​ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.⁷​

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.⁸​

Intervalos con infinito[editar]

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

 EJEMPLOShttps://drive.google.com/file/d/0B2PDCbjlGvJTRklHMkFWUTRjX3c/view?usp=sharing