FUNCION LINEAL Y AFIN2

FUNCION ALINEAL YH AFIN

Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y  = mx,siendo m un número cualquiera distinto de 0.

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0).
• El número m se llama pendiente.
• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0

Ejemplo: Vamos a representar gráficamente la función lineal y = 2x.
Para ello, vamos a construir su tabla de valores, pero no debemos olvidar que su gráfica es una recta que pasa por el origen, por lo que bastará dar un valor a x y obtener su correspondiente de y. Después uniremos ese punto obtenido con el origen de coordenadas mediante una línea recta.

Tabla de valores

x	1
y	2

Así, la representación gráfica de la función en cuestión será la que se muestra a continuación:

Ejercicio: Representa en tu cuaderno las siguientes funciones lineales:
a) y = 0,5x          b) y = 4x          c) y = - 0,75x
- Compara tus resultados con los que se obtienen al modificar el valor de m en la gráfica anterior.
- Observa que la recta está más inclinada cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente.

2. Función afín

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n números distintos de 0.

• Su gráfica es una línea recta.
• El número m es la pendiente.
• El número n es la ordenada en el origen. La recta corta al eje Y en el punto (0,n).

Ejemplo: Vamos a representar gráficamente la función lineal y = - 2x + 3.

De nuevo vamos a construir su tabla de valores. En este caso hemos de tener en cuenta que la función ya no pasa por el origen de coordenadas, lo hace por (0,3), puesto que n = 3. Teniendo esto en cuenta volveremos a dar un único valor a la varible independiente (x), para el que obtendremos un valor de la variable dependiente (y), posteriormente uniremos el punto obtenido con el (0,3) mediante una linea recta.
Tabla de valores

x	1
y	1

Ejercicio: Representa en tu cuaderno las siguientes funciones afines:
a) y = 0,5x + 1         b) y = x + 2          c) y = 0,75x - 1        
- Compara tus resultados con los que se obtienen al modificar el valor de m  y n en la gráfica anterior.

3. Ecuaciones y gráficas

Cuando la gráfica de una función es una recta:

• Si la recta pasa por el origen de coordenadas, es una función lineal, y  = mx, y su pendiente, m, es la ordenada de x = 1.
• Si no pasa por el origen, es una función afín, y  = mx + n, donde n es la ordenada de x = 0 y m es la ordenada de x = 1 menos n.

La recta de color rojo pasa por el origen de coordenadas, por tanto su ecuación será del tipo y = mx. Puesto que pasa por el punto (1,-2) su pendiente será m = -2. Por tanto la función es y = -2x.

La recta de color azul no pasa por (0,0), por lo que su ecuación será del tipo y = mx + n.

• Pasa por (0,-1), entonces n = -1.
• Pasa por (1,2), entonces m = 2 - n = 2 - (-1) = 3.

La función es y = 3x - 1.

En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

${\displaystyle f(x)=mx+b}$

donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle b}$ son constantes reales, ${\displaystyle m,b\in \mathbb {R} }$, y ${\displaystyle x}$ es una variable real. La constante ${\displaystyle m}$ es la pendiente4 de la recta, y ${\displaystyle b}$ es el punto de corte de la recta con el eje ${\displaystyle y}$. Si se modifica ${\displaystyle m}$ entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica ${\displaystyle b}$, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

En el contexto de análisis matemático la función lineal son aquellas con ${\displaystyle b=0}$ de la forma:

${\displaystyle f(x)=mx}$

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma: Una función lineal de una única variable dependiente  es de la forma:

${\displaystyle y=mx+b}$que se conoce como ecuación de la recta en el plano , .

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

${\displaystyle y=0,5x+2}$

en esta recta el parámetro ${\displaystyle m}$ es igual a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos ${\displaystyle x}$ en una unidad entonces ${\displaystyle y}$ aumenta en ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ unidad, el   valor de ${\displaystyle b}$ es 2, luego la recta corta el eje ${\displaystyle y}$ en el punto ${\displaystyle y=2}$.

  En la ecuación:

${\displaystyle y=-x+5}$

la pendiente de la recta es el parámetro ${\displaystyle m=-1}$, es decir, cuando el valor de ${\displaystyle x}$ aumenta en una unidad, el valor de ${\displaystyle y}$disminuye en una unidad; el corte con el eje ${\displaystyle y}$ es en ${\displaystyle y=5}$, dado que el valor de ${\displaystyle b=5}$.

En una recta el valor de ${\displaystyle m}$ se corresponde al ángulo ${\displaystyle \theta }$ de inclinación de la recta con el eje de las ${\displaystyle x}$ a través de la expresión:

${\displaystyle m=\tan \theta }$.

Funciones lineales de diversas variables

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

representa un plano y una función

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.

también conocida como transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Función lineal ⇒ y = m x

La fórmula de la función lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Estas rectas pasan siempre por el origen de coordenadas punto (0, 0). La ordenada en el origen n es 0.

Estudiar y representar la siguiente recta ⇒ y = 2x

La pendiente de la recta es 2 ( valor de m, coeficiente que hay delante de x ), cuando m es positiva la recta es creciente. Pasa por el punto (0, 0)

Tabla de valores de la función
x	1	0	-1
y	2	0	-2

Gráfica de la función

Función afin ⇒ y = m x + n

La fórmula de la función afin es: y = m x + n donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa la recta es decreciente.

La ordenada en el origen es n, punto donde la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)

Estudiar y representar  la siguiente recta ⇒ y = 2x + 3

La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente. La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 3)

Tabla de valores de la función
x	1	0	-1
y	5	3	1

Gráfica

Función constante ⇒ y = n

La fórmula de la función constante es: y = n. La pendiente de la recta m = 0, no es ni creciente ni decreciente. No hace falta hacer tabla de valores la recta vale siempre y = n

Estudiar y representar la siguiente recta ⇒ y = 3

La pendiente de la recta es 0, n = 3

Gráfica

TALLERhttps://drive.google.com/file/d/0B2PDCbjlGvJTZ2pwcEFGMDNtMU0/view?usp=sharing